FACTORIZACION DE TRINOMIOS
Factorizando Trinomios: x2 + bx + c
Los trinomios de la forma x2 + bx + c normalmente pueden factorizarse como el producto de dos binomios. Recuerda que un binomio es simplemente un polinomio de dos términos. Empecemos observando qué pasa cuando multiplicamos dos binomios, como (x + 2) y (x + 5).
Ejemplo | ||
Problema |
Multiplicar (x + 2)(x + 5). | |
| (x + 2)(x + 5) | Usa el método FOIL para multiplicar los binomios. |
| x2 + 5x + 2x +10 | Luego combina los términos semejantes 2x y 5x. |
Respuesta | x2 + 7x +10 |
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Factorizar es el reverso de multiplicar. Entonces vayamos en reversa y factoricemos el trinomio x2 + 7x + 10. Los términos individuales x2, 7x, y 10 no comparten factores comunes. Entonces vamos a reescribir x2 + 7x + 10 como x2 + 5x + 2x + 10.
Y, puedes agrupar los pares de factores: (x2 + 5x) + (2x + 10)
Factorizar cada par: x(x + 5) + 2(x + 5)
Luego sacar el factor común x + 5: (x + 5)(x + 2)
A continuación se muestra el mismo problema en la forma de un ejemplo:
Ejemplo | ||
Problema |
Factorizar x2 + 7x +10. | |
| x2 + 5x + 2x +10 | Reescribe el término de en medio 7x como 5x + 2x. |
| x(x + 5) + 2(x + 5) | Agrupa los pares y saca el factor común x del primer par y el factor 2 del segundo par. |
| (x + 5)(x + 2) | Saca el factor común (x + 5). |
Respuesta | (x + 5)(x + 2) |
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¿Cómo sabemos la manera de reescribir el término de en medio? Desafortunadamente, no puedes reescribirlo de una única manera. Si reescribes 7x como 6x + x, este método no funcionará. Afortunadamente, existe una regla para eso.
Factorizando Trinomios de la forma x2 + bx + c
Para factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c, encuentra dos enteros, r y s, cuyo producto sea c y cuya suma sea b.
Reescribe el trinomio como x2 + rx + sx + c y luego agrupa y aplica la propiedad distributiva para factorizar el polinomio . Los factores resultantes serán (x + r) y (x + s).
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Por ejemplo, para factorizar x2 + 7x +10, buscas dos números cuya suma sea 7 (el coeficiente del término central) y cuyo producto sea 10 (el último término).
Piensa en pares de factores de 10: 1 y 10, 2 y 5. ¿Alguno de ellos suman 7? Sí, 2 y 5. Entonces puedes reescribir 7x como 2x + 5x, y continuar factorizando como el ejemplo anterior. Observa que también puedes reescribir 7x como 5x + 2x. Ambas forman funcionan.
Factoricemos el trinomio x2 + 5x + 6. En este polinomio, la parte b del término central es 5 y el término c es 6. Una tabla nos ayudará a organizar las posibilidades. A la izquierda, enlista todos los factores posibles del término c, 6; a la derecha encontrarás las sumas.
Factores cuyo producto es 6 | Suma de los factores |
1 • 6 = 6 | 1 + 6 = 7 |
2 • 3 = 6 | 2 + 3 = 5 |
Sólo hay dos combinaciones posibles de factores, 1 y 6, y 2 y 3. Puedes ver que 2 + 3 = 5. Entonces 2x + 3x = 5x, que nos da el término central correcto.
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